Bài 3 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = \sqrt {2\left( {1 + \cos x} \right) }+1 \\
b)\,\,y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 2
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Dựa vào tính chất: \( - 1 \le \sin x \le 1;\,\, - 1 \le \cos x \le 1\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \cr
& \Leftrightarrow 0 \le 1 + \cos x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2(1 + \cos x) \le 4 \cr
& \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {2(1 + \cos x} + 1 \le 3 \cr} \)

\(\Rightarrow y_{max}= 3\)

Dấu “ = “ xảy ra \(⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ \mathbb{Z})\)

Vậy \(y_{max}= 3\) khi \(x = k2π\)

b) Ta có:

Với mọi \(x ∈ \mathbb{R}\), ta có:

\(\eqalign{
& \sin (x - {\pi \over 6}) \le 1 \cr
& \Leftrightarrow 3\sin (x - {\pi \over 6}) \le 3 \Leftrightarrow 3\sin (x - {\pi \over 6}) - 2 \le 1 \cr
& \Leftrightarrow y \le 1 \cr} \)

 Vậy \(y_{max} = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \)

\(\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)