Bài 8 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(sin x + sin2x = cosx + 2 cox^2 x\) là:

A. \({\pi  \over 6}\)           B. \({{2\pi } \over 3}\)                   C. \({\pi  \over 4}\)                      D. \({\pi  \over 3}\)

Hướng dẫn giải

Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \)

\(⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\)

\(⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx) \)

\(⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr
\sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr
\tan x = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \(x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi  \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x =  - {{2\pi } \over 3} + k2\pi  \Rightarrow x =  - {{2\pi } \over 3} + 2\pi  = {{4\pi } \over 3}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = {\pi  \over 4} + k\pi  \Rightarrow x = {\pi  \over 4}\)

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = {\pi  \over 4}\)

Chọn đáp án C.