Bài 7 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Phương trình \({{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = \tan 2x\) có số nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. \(2\)                  B. \( 3\)                            C. \(4\)                   D. \(5\)

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng công thức \(\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\), quy đồng, bỏ mẫu.

+) Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x\)

+) Giải phương trình bậc hai của \(\sin 2x\).

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(cos2x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠  ± 1\)

Ta có: 

\({{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = {{\sin 2x} \over {\cos 2x}} \Rightarrow \cos 4x = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}2x = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \sin 2x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = - 1 \hfill\text{(loại)} \cr
\sin 2x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
2x = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi \hfill \cr} \right.k,l \in \mathbb{Z}\cr} \)

Ta lại có:

 \(x \in (0,{\pi \over 2})\)

\(x = {\pi \over {12}} + k\pi :0 < {\pi \over {12}} + k\pi < {\pi \over 2}\)

\(\Leftrightarrow 0 < {1 \over {12}} + k < {1 \over 2}\)

\(\Leftrightarrow {{ - 1} \over {12}} < k < {5 \over {12}}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow k = 0\)

\(x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi :0 < {{5\pi } \over {12}} + l\pi < {\pi \over 2}\)

\(\Leftrightarrow 0 < {5 \over {12}} + l < {1 \over 2} \)

\(\Leftrightarrow {{ - 5} \over {12}} < l < {1 \over {12}}(l \in \mathbb{Z}) \Rightarrow l = 0\)

Vậy phương trình có đúng \(2\) nghiệm thuộc khoảng \((0,{\pi  \over 2})\) 

Chọn đáp án A.