Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\).

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) dạng đoạn chắn và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có: \(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

c) Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)

Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có:

\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)

Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức:

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)

\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0\) \( \Rightarrow  α = 45^0\)

c) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\) \(\overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì: 

\(\overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1; -2; -2)\)

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):

\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)

\( \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\)

Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):

\(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\)