Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính là:

(A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) ;                                           (B) \(\sqrt2\) ;

(C) \(\sqrt3\);                                             (D) \({3 \over 4}\) .

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.

Suy ra bán kính của mặt cầu: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết

Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A,B,C,D\) nên ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0 \,\,\,\, (1) \hfill \cr
1 - 2b + d = 0 \,\,\,\,  (2) \hfill \cr
1 - 2c + d = 0 \,\,\,\,  (3) \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \,\,\,\,  (4) \hfill \cr} \right.\)

Lấy \((1)+(2)+(3)-(4)\) ta được: \(d = 0\)

Từ đây ta được: \(a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\)

\({R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Chọn (A).