Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).

Hướng dẫn giải

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha)\).

+) Gọi \(K = \left( \alpha  \right) \cap d\), tìm tọa độ điểm K, K chính là tâm đường tròn (C).

+) Tính khoảng cách \(h = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\), từ đó suy ra bán kính \(r\) của đường tròn (C): \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} \).

Lời giải chi tiết

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:

\(h=d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).

Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2, -2. -1)\).

Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) : \(\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)

\(K \in d \Rightarrow K\left( {3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t} \right);\,\,K \in \left( \alpha  \right)\) nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta có: 

\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\Rightarrow t=-2\)

\( \Rightarrow K\left( { - 1;2;3} \right)\)