Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu

(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)

và song song với hai đường thẳng

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 5 + 2t\\
y = 1 - 3t\\
z = - 13 + 2t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = - 7 + 3t'\\
y = - 1 - 2t'\\
z = 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

+) Gọi \(\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \) lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d'. Khi đó mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right]\) là 1 VTPT.

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S), mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\)

                    \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0)\)

Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d'\) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] =(4;6;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} - 170}  = \sqrt {25}  = 5\).

Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có:

\(d(I, (α)) = R  \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\)

                     \( \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 5\sqrt {77} \)

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) \(D - 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0\)

+) \(D - 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0\)