Bài 40 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 40. Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} - 1\), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876.

\({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của \({2^p} - 1\) bằng chữ số của \({2^p}\)và để tính chữ số của \({M_{127}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30\) và để tính chữ số của \({M_{1398269}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30103\) (xem ví dụ 8)

Hướng dẫn giải

\({M_{31}} = {2^{31}} - 1\) và số các chữ số của \({M_{31}}\) khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của \({2^{31}}\) nên số các chữ số của \({M_{31}}\) là

\(\left[ {31.\log 2} \right] + 1 = \left[ {9,3} \right] + 1 = 10\)

Tương tự, số các chữ số của \({M_{127}} = {2^{127}} - 1\) khi viết trong hệ thập phân là

\(\left[ {127.\log 2} \right] + 1 = \left[ {38,23} \right] + 1 = 39\)

Số các chữ số của \({M_{1398269}}\) khi viết trong hệ thập phân là

\(\left[ {1398269.\log 2} \right] + 1 = 420921\)