Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)

Hướng dẫn giải

a) Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).

Nếu \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn \({z_2} - {z_1}\) nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|.\)

b) \(z=a+bi;\;z'=a'+b'i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\) và \(z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i\) nên 

\(\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr
& \Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \)

Khi \(z \ne 0\) ta có:

\(\left| {{{z'} \over z}} \right| = \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | = {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} \over {|z|}}\)

c) Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z' thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z+z'. Ta có:

\(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\)

Mà \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|\) nên \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).