Bài 10 trang 11 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh

a) \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\);            

b) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}- \sqrt{3} = -1\)

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng hằng đẳng thức: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

+) Sử dụng công thức \((\sqrt{a})^2=a\), với \(a \ge 0\).

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\). 

+) Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai số học: Với hai số \(a ,\ b\) không âm, ta có:

\[a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b} \]

Lời giải chi tiết

a) Ta có: VT=\({\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2. \sqrt 3 .1 + {1^2}\)

                                   \( = 3 - 2\sqrt 3  + 1\)

                                   \(=(3+1)-2\sqrt 3 \)

                                   \(= 4 - 2\sqrt 3 \) = VP

Vậy  \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\)  (đpcm)

b) Ta có:

VT=\(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3  = \sqrt {\left( {3 + 1} \right) - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3 \)

                               \( = \sqrt {3 - 2\sqrt 3  + 1}  - \sqrt 3 \)

                               \(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .1 + {1^2}}  - \sqrt 3 \)

                               \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  - \sqrt 3 \)

                               \( = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| - \sqrt 3 \).

Lại có:

\(\left\{ \matrix{
{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3 \hfill \cr
{\left( {\sqrt 1 } \right)^2} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Mà \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt 3  > \sqrt 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 > 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 -1 > 0 \).

\(\Rightarrow \left| \sqrt 3 -1 \right| = \sqrt 3 -1\).

Do đó  \(\left| {\sqrt 3  - 1} \right| - \sqrt 3 = \sqrt 3 -1 - \sqrt 3\)

\(= (\sqrt 3 - \sqrt 3) -1= -1\) = VP.

Vậy \(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \sqrt 3 =-1\)  (đpcm)