Lý thuyết về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức chi tiết nhất

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức là một bài lý thuyết quan trọng thuộc chương I Căn bậc hai Căn bậc ba của chương trình Toán lớp 9. xin gửi tới các bạn bài viết lý thuyết và các dạng bài tập tổng hợp về căn bậc 2 và hằng đẳng thức. Hy vọng tài liệu căn bậc hai và hằng đẳng thức sẽ hữu ích với các bạn! 

A. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức của căn bậc hai

1. Khái niệm và điều kiện của một căn bậc hai số học

- Trong điều kiện a là một số không âm, số được cho dưới dạng công thức là \(\sqrt{a}\) thì được gọi là căn bậc hai số học của a.

- Lưu ý:

+ \(\sqrt{0}=0\)

+ Số ân không có căn bậc hai

- Một số tính chất

+ Nếu một đẳng thức được cho bởi: \(\sqrt{a}=x\) thì tương đương với \(\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ x^2=a\end{matrix}\right.\)

+ Với điều kiện là hai số a, b không âm ta có tính chất sau: a < b <=> \(\sqrt{a}<\sqrt{b} \)

2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Cho A dưới dạng là một biểu thức đại số. Trong biểu thức \(\sqrt{A}\) = A thì \(\sqrt{A}\) được gọi là căn thức bậc hai của A. còn biểu thức lấy căn là A. Ta có công thức sau:

\(\sqrt{A^2}= \left | A \right |\)

Từ công thức ta có hai trường hợp xảy ra: 

+ \(\sqrt{A^2}= A\) nếu với trường hợp \(A\geq 0\)

+ \(\sqrt{A^2}= - A\) nếu với trường hợp \(A<0\)

B. Bài tập căn bậc hai và hằng đẳng thức. Một số dạng toán thường gặp về căn bậc hai

Dạng 1: Tính căn thức bậc hai số học và so sánh về các căn bậc hai

a, Cách làm 

Vận dụng kiến thức là với a, b là hai số dương tùy ý nếu \(a>b\) thì \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\) và ngược lại

b, Một số bài tập vận dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Bài 1: So sánh hai căn thức sau:

\(a,4, \sqrt{14}\)                                 

\(b, 5, \sqrt{30}\)                                    

\(c, 7, \sqrt{49}\)

Hướng dẫn giải bài tập:

a, Ta có \(\sqrt{16}=4\). Vì 16 > 14 nên \(\sqrt{16}>\sqrt{14}\) => \(4>\sqrt{14}\)

b, Ta có \(\sqrt{25}=5\). Vì 25 < 30 nên \(\sqrt{25}<\sqrt{30}\) => \(5<\sqrt{30}\)

c, Ta có \(\sqrt{49}=7\). Vì 49 = 49 nên \(\sqrt{49}=\sqrt{49}\) => \(7=\sqrt{49}\)

Dạng 2: Các biểu thức chưa căn bậc hai được thu gọn như nào?

a, Cách làm 

Đưa các biểu thức chứa căn bậc hai về những dạng của hằng đẳng thức thông thường như \((a+b)^2\) hoặc \((a-b)^2\) hoặc \(\sqrt{A^2}= \left | A \right |\)

b, Một số bài tập vận dụng 

Bài 1: Thu gọn các biểu thức chứa căn sau: 

a, \(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

b, \(Q=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)

c, \(R=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{2}}\)

d, \(S= \sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}\)

Hướng dẫn làm bài tập: 

a, \(P=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(​​P=1+\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{8}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(1+\dfrac{\sqrt{2}.(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) = \(1+\sqrt{2}\)

b, \(Q=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}.(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{5}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}-\dfrac{\sqrt{2}.(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{5}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}.(3+\sqrt{5})}{3\sqrt{5}+1}-\dfrac{\sqrt{2}.(3-\sqrt{5})}{3\sqrt{5}-1}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}.(8\sqrt{5}+12)}{(3\sqrt{5})^2-1}-\dfrac{\sqrt{2}.(8\sqrt{5}-12)}{(3\sqrt{5})^2-1}\) = \(\dfrac{6\sqrt{2}}{11}\)

c, \(R=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3)}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+4}+\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-4}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3)}{\sqrt{3}-1+4}+\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)}{\sqrt{3}+1-4}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-3)^2+\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)^2}{-6}\) = \(\dfrac{24\sqrt{2}}{-6}\) = \(-4\sqrt{2}\)

Dạng 3: Biểu thức có căn bậc hai thì giải như nào?

a, Cách làm 

Vận dụng kiến thức của hằng đẳng thức 

\(\sqrt{A^2}= \left | A \right |\)

Từ công thức ta có hai trường hợp xảy ra: 

+ \(\sqrt{A^2}= A\) nếu với trường hợp \(A\geq 0\)

+ \(\sqrt{A^2}= - A\) nếu với trường hợp \(A<0\)

b, Một số bài tập vận dụng 

Bài 1: Tính giá trị của một số biểu thức chứa căn sau:

a, \(A=(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2\)

b, \(B= \sqrt{227-30\sqrt{2}}+\sqrt{123+22\sqrt{2}}\)

Hướng dẫn cách làm:

a, \(A=(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2\) = \(6-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}\) = 2

b, \(B= \sqrt{227-30\sqrt{2}}+\sqrt{123+22\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{(15-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(11+\sqrt{2})^2}\) = 26

Bài 2: Giải các phương trình có chứa căn bậc hai sau:

a, \(\sqrt{x^2+3x-4}=x-1\)

b, \(\sqrt{x^2-4x+4}=7-x\)

Hướng dẫn giải:

a, \(\sqrt{x^2+3x-4}=x-1\)

 Khi \(x-1\geq 0\) <=> \(x\geq 1\)

<=> \(x^2+3x-4\) = \((x-1)^2\) <=> \(x^2+3x-4\) = \(x^2-2x+1\)

<=> x = 1 (Thỏa mãn)

b, \(\sqrt{x^2-4x+4}=7-x\)

<=> \(\sqrt{(x-2)^2}=7-x\) <=> \(\left | x-2 \right |=7-x\)

Xét trường hợp 1: Nếu \(x-2\geq 0\) <=> \(x\geq 2\)

Phương trình \(\left | x-2 \right |=7-x\) trở thành \(x-2 = 7-x\) <=> x = \(\dfrac{9}{2}\) (thỏa mãn)

Xét trường hợp 2: Nếu \(x-2<0\) <=> \(x<2\)

Phương trình \(\left | x-2 \right |=7-x\) trở thành \(2-x=7-x\) (vô lý)

Dạng 4: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức chứa căn sau:

a, \(A=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\)         

b, \(A=\sqrt{x-5}+\sqrt{23-x}\)

Hướng dẫn giải:

a, Điều kiện để xác định biểu thức là \(\dfrac{5}{3}\leq x\leq \dfrac{7}{3}\)

Bình phương hai vế của biểu thức, ta có:

\(A^2= 3x-5+7-3x+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}\)

Theo Cô-si ta được:  \(A^2\leq 2+(3x-5+7-3x)=4\)

Vậy giá trị lớn nhất của A sẽ bằng 2 khi \(3x-5=7-3x\) <=> \(x=2\)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức chứa căn sau:

a, \(E= \sqrt{2x^2-4x+5}+1\)

b, \(F=\sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+5}\)

Hướng dẫn giải: 

a, \(E= \sqrt{2x^2-4x+5}+1\) = \(\sqrt{2(x^2-2x+1)+3}+1\) = \(\sqrt{2(x-1)^2+3}+1\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là \(\sqrt{3}+1\) khi \((x-1)^2=0\) <=> x = 1

b, \(F=\sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+5}\) 

Ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ \(t=x^2+3x\)

Phương trình \(F=\sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+5}\) trở thành \(\sqrt{t(t+2)+5}\) 

Có \(\sqrt{t(t+2)+5}\) = \(\sqrt{(t+1)^2+4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi t = -1

Giải phương trình \(x^2+3x=-1\) <=> \(x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\) và \(x=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}\)

Tham khảo thêm >>> Giải toán 9 Căn bậc hai và hằng đẳng thức (sách giáo khoa)

Với bài viết căn bậc 2 và hằng đẳng thức, đã đem đến cho các bạn những kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập tự luận về căn bậc hai và hằng đẳng thức đầy đủ và chi tiết nhất. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!