Bài 16 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\);        

b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\);     

c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.\)

+) Từ phương trình (1), rút \(x\) theo \(y\)   (nếu \(a \ne 0\)), ta được: \(x=\dfrac{c-by}{a}\) (Hoặc có thể rút \(y\) theo \(x\) nếu \(b \ne 0\)).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn \(y\). Giải phương trình này tìm \(y\).

+) Thế \(y\) vào phương trình (1) tìm được \(x\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
3x - y = 5 \hfill \cr
5x + 2y = 23 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 5 \hfill \cr
5x + 2\left( {3x - 5} \right) = 23 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 5 \hfill \cr
5x + 6x - 10 = 23 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 5 \hfill \cr
11x = 23 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 5 \hfill \cr
11x = 33 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3x - 5 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 3.3 - 5 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (3; 4)\).

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
3x + 5y = 1 \hfill \cr
2x - y = - 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 5y = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 5\left( {2x + 8} \right) = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 10x + 40 = 1 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13x = 1 - 40 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13x = - 39 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2x + 8 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2.\left( { - 3} \right) + 8 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (-3; 2)\).

c) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \hfill \cr
x + y - 10 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
\dfrac{2y}{3} + y = 10 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
{\left( \dfrac{2}{3} + 1 \right)}y = 10 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
\dfrac{5}{ 3}y = 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2y}{3} \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{2.6}{3} \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 6 \hfill \cr} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (4; 6)\).