Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:
a) \(u_n= \frac{1}{n}-2\) ; b) \(u_n= \frac{n-1}{n+1}\);
c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\) d) \(u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\).
Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau:
Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)
+) Nếu hiệu trên lớn hơn 0 chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 0 chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.
Cách 2: Xét thương \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}\)
+) Nếu hiệu trên lớn hơn 1 chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.
+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 1 chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.
Lời giải chi tiết
a) Xét hiệu
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\frac{1}{n} - 2} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\)
Vì \(n + 1 > n \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} < 0\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N*\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)
= \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)
\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in {\mathbb N}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) (dãy đan dấu) là dãy số không tăng và cũng không giảm.
Vì:
+) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\)
+) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\)
d) Xét thương \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).
Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Copyright © 2021 HOCTAP247