Trang chủ Lớp 11 Toán Lớp 11 SGK Cũ Bài 2. Dãy số Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 18. Cho dãy số (sn) với  \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.\)

a. Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

b. Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Hướng dẫn giải

a. Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr
& = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr
& = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

b. Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó :  \({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}} = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  \({s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0\)

Copyright © 2021 HOCTAP247