Tổng hợp lý thuyết những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn muốn công việc học tập toán đại ở cấp THCS trôi qua suôn sẻ thì đừng ngại mà đọc và học ngay hằng đẳng thức, ở bài viết này tổng hợp cho bạn những kiến thức chủ đạo cơ bản về các hằng đẳng thức đáng nhớ và cũng không quên mở rộng nâng cao cho những bạn muốn tìm hiểu để đạt điểm tuyết đối. Bắt tay vào học thôi.

I) Hằng đẳng thức

1) 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a)Bình phương của tổng

 \((a + b)^2 = a^2 +2ab+b^2\)

b) Bình phương của hiệu

 \((a - b)^2 = a^2 -2ab+b^2\)

c) Hiệu hai bình phương

 \(a^2 - b^2 = (a +b)(a-b)\)

d) Lập phương của tổng

 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^3 + b^3\)

e) Lập phương của hiệu

 \((a- b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^3 - b^3\)

g) Tổng hai lập phương

 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab +b^2)\)

h) Hiệu hai lập phương

 \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab +b^2)\)

2) Hằng đẳng thức mở rộng

a) Hằng đẳng thức bậc 2

\((a+b+c)^2 = a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2ac + 2bc\)

\((a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc\)

\((a-b-c)^2 = a^2+b^2+c^2 - 2ab-2ac+2bc\)

b) Hằng đẳng thức bậc 3

\(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

\((a-b)^3 +(b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(b-b)(b-c)(c-a)\)

c) Hằng đẳng thức bậc 4

\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b = 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

d) Một vài hằng đẳng thức khác

\((a+b)(b+c)(c+a) - 8abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2\)

\((a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

\((a+b)(b+c)(c+a) - 8abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2\)

\((a+b)(b+c)(c+a) =(a+b+c)(ab+ bc+ca)-abc\)

e) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ngoài phương pháp đặt nhân tử chung thì còn có thể ứng dụng vào bài giải.

VD: Giải bài toán

a) \(4x^2 -12x+9\)

b) \(-x^2 + 10x-25\)

Có thể bạn quan tâm: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

g) Mẹo giải bài tập

Từ VD giải bài toán ở phía trên ta có thể đưa ra một số mẹo (chú ý) khi giải bài toán bằng hằng đẳng thức như sau

- \((a+b) = -(-a-b)\)

- \((a+b)^2 = (-a-b)^2\)

- \((a-b)^2 = (b-a)^2\)

- \((a+b)^3 = -(-a -b)^3\)

- \((a-b)^3 = - (-a+b)^3\)

II) Dạng tổng quát của hằng đẳng thức

Qua những hằng đẳng thức trên ta có thể rút ra dạng tổng quát như sau:

1) Với hằng đẳng thức tổng

\(a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - a{n-4}b^3 + ... + a^2b^{n-3} - a.b^{n-2} + b^{n-1})\)

Với n là số lẻ \(\in \mathbb{N}\).

2) Với hằng đẳng thức hiệu

\(a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +...+a^2b^{n-3} +ab^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}\)

III) Luyện tập

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) \(8x^3 - 64\)

b) \(8x^3 - 27\)

c) \(1 +12x + 36x^2\)

d) \((3x-1)^2 -16\)

Bài tập 2: 

a) \((2x+5)^2 - (x-9)^2\)

b) \(x^6 -y^6\)

c) \(\dfrac {x^2}{4} + 2xy + 4y^2\)

d) \(25x^4 - 10x^2y+y^2\)

Xem thêm >>> Giải bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ

                         Giải bài tập những hằng đẳng thức đáng nhớ(tiếp)

                        Giải bài tập những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trên đây là bài viết tổng hợp lý thuyết cơ bản và nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ mà bạn cần nắm được ở chương trình toán học lớp 8 nói riêng và THCS nói chung. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích được nhiều cho bạn trong quá trình học tập, đừng quên để lại comment thắc mắc và lời giải bài tập ở phía dưới nhé!