Giải bài 9 trang 70 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

Đề bài

      Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

   a) Tam giác DIL là một tam giác cân

   b) Tổng 

       \( \frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)

  không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Hướng dẫn giải

      Hướng dẫn: 

a) Chứng minh \(\Delta ADI = \Delta CDL(g.c.g) \Rightarrow DI=DL \Rightarrow \Delta DIL\) cân .

b) Áp dụng hệ thức \( \frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) cho tam giác vuông DLK ta được :

  \( \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2} \Rightarrow \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)= không đổi.

    Giải: 

   a) xét \(\Delta ADI\)  và \(\Delta CDL\) có: 

DA=DC( hai cạnh của hình vuông ABCD)

\(\widehat{ADI}=\widehat{CDL}\) ( cùng phụ \(\widehat{CDI}\)

do đó \(\Delta ADI = \Delta CDL(g.c.g) \Rightarrow DI=DL \)( Cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

   \(\Rightarrow \Delta DIL\) cân.

   b) Áp dụng hệ thức \( \frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) cho tam giác vuông DLK ta được:

\( \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2} \Rightarrow \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) vì DC không đổi nên \( \frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) không đổi.