Bài 17 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Áp dụng:

+) Tính chất tam giác cân.

+) Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆ECD có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}\) cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân) (1)

Ta có:

\({\rm{AB//DC}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\
\widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Mà: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}\)\( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow AE = BE\)(tính chất tam giác cân)(2)

Lại có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
AC = A{\rm{E}} + EC\\
B{\rm{D}} = BE + DE
\end{array} \right.\left( {gt} \right)\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang).