Bài 18 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD \(\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)\) có AC = BD.

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng mình rằng:

a) ∆BDE là tam giác cân.

b) ∆ACD = ∆BDC.

c) Hình thang ABCD là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Áp dụng: Tính chất hình thang cân, tính chất tam giác cân, dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) E thuộc đường thẳng DC nên CE // AB.

Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song (gt) nên \( \Rightarrow AC = BE\) (1)  (tính chất hình thang )              

Lại có: AC = BD (gt)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = BD \( \Rightarrow \Delta BED\) cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Ta có \(AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị) (3)

  ∆BDE cân tại B (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét  ∆ACD và  ∆BCD có:

AC = BD (gt)

  =  (cmt)

CD chung

Nên ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)

c) Ta có: ∆ACD = ∆BDC (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (2 góc tương ứng)

Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.