Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\)

b) \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}};\)

c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}};\)

d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\)

Hướng dẫn giải

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số \(a,\ b\) không âm, ta có:

                     \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+ \( \sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),  với \(a \ge 0,\ b > 0\).

+ \(|a| = a\),  nếu \(a \ge 0\)

     \(|a|=-a\)  nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}\)

                               \(=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)

                               \(=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

                               \(=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2\)

                               \(=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6\).

Vì  \( 2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0\)

Do đó: \( |\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3\)

                               \(=\sqrt 3-\sqrt2\).

b) Ta có:

\(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}\)

                         \(=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}\)

Nếu \(ab \ge 0\) thì \(|ab|=ab\)

          \( \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\).

Nếu \(ab < 0\) thì \(|ab|=-ab \)

           \(\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}\).

c) Ta có: 

\(\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\).

Vì \(b^2 > 0\) với mọi \( b \ne 0\) nên \( |b^2|=b^2\).

d) Ta có: 

\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt a\).

Vì theo đề bài các căn thức có nghĩa nên ta có:

        \(a > 0,\ b > 0 \Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt a.\sqrt b\).