Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nắm trên đường nào?

Hướng dẫn giải

+) Chứng minh tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính các góc của tam giác ABC.

+) Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông có đường cao để tính đường cao của tam giác đó.

+) Diện tích tam giác: \(S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}AB.AC.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({6^2} + 4,{5^2} = 36 + 20,25 = 56,25 = 7,{5^2}.\)

\(\Rightarrow ∆ABC\) có \(AB^2+AC^2=BC^2(=56,25)\) nên vuông tại \(A\)  (định lý Pi-ta-go đảo).

 \(\eqalign{&Ta \, \, có: tan B = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {53^0}. \cr} \)

Xét \(∆ABC\) vuông tại \(A, \, \, AH\) là đường cao nên:

\(AH.BC = AB.AC\)

\( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm).\)

b) Ta có: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\)

\(S_{MBC}=\frac{1}{2}d(M; \, BC).BC\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=S_{MBC} \Leftrightarrow d(M; \, BC) = AH.\)

Do đó \(M\) nằm trên hai đường thẳng song song cách \(BC\) một khoảng bằng \(3,6 cm.\)