Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\);                     

b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\);                           

d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Đưa các phương trình đã cho về dạng \(y=ax+b \ (d)\) và \(y=a'x+b' \ (d')\) để so sánh các hệ số \(a,\ b\) và \(a',\ b'\).

+) Nếu \(a \ne a'\) thì \(d\) cắt \(d' \Rightarrow \)  hệ có một nghiệm duy nhất.

+) Nếu \(a=a',\ b \ne b'\) thì \(d\) song song với \(d' \Rightarrow \)  hệ vô nghiệm.

+) Nếu \(a=a',\ b=b'\) thì \(d\) trùng với \(d' \Rightarrow \) hệ có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -2x + 3 & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -2, a' = 3\) nên \(a ≠ a'\).

Do đó hai đường thẳng cắt nhau nên hệ phương trình có một nghiệm.

b) Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\dfrac{1}{2},b = 3 \) và \(a' = -\dfrac{1}{2}, b' = 1\) nên \(a = a', b ≠ b'\).

 Do đó hai đường thẳng song song nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{3}{2}x & & \\ y = \dfrac{2}{3}x & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\dfrac{3}{2}, a' = \dfrac{2}{3}\) nên \(a ≠ a'\)

Do đó hai đường thẳng cắt nhau nên hệ phương trình có một nghiệm.

d) ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \dfrac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ \dfrac{1}{3}y = x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ y = 3x - 3 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = 3,\ b = -3 \)  và  \(a' = 3,\  b' = -3\) nên \(a = a',\  b = b'\).

 Do đó hai đường thẳng trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.