Toán 9 hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Toán 9 hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cùng  tìm hiểu về những nội dung lý thuyết quan trọng và giải bài tập về Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 9!

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa chung

- Dạng tổng quát cho phương trình được ký hiệu như sau:  \(ax+by=c\). Điều kiện xác định đối với các hệ số của từng ẩn cho trước là: (a≠0) hoặc (b≠0)

- Tập xác định nghiệm của phương trình \(ax+by=c\) là vô hạn. Với một giá trị bất kỳ của x ta luôn luôn xác định được một giá trị bất kỳ của y. Và ta có thể biểu diễn được các nghiệm trên cùng một đường thẳng d.

2. Công thức tổng quát cơ bản

Đối với dạng tổng quát của hệ, ta biểu diễn qua hai ẩn x, y và các hệ số, tham số của từng phương trình như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

a. Tập nghiệm của hệ được phân chia thành ba trường hợp tính dưới đây:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\);

Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\);

Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'.}}\)

b. Nội dung của quy trình giải nghiệm:

Cách 1: Phương pháp thế

Đối với các dạng phức tạp của hệ, ta dùng cách thế nghiệm, bằng các biến đổi đơn giản từ nghiệm này theo nghiệm kia kèm theo các tham số phụ thuộc ta có thể làm sáng tỏ được hệ phương trình đã cho.

Bước 1. Như cách diễn giải trên, ở phương trình số 1 ta biểu diễn y theo x như sau: \(y= \dfrac{c-ax}{b}\) thay giá trị biến đổi đó vào phương trình số 2. Ta sẽ biến đổi được phương trình số 2 thành dạng bậc nhất một ẩn và tìm ra được giá trị của x.

Bước 2. Sau khi đã tìm giá được giá trị x từ phương trình biến đổi số một rồi ta thay ngược lại vào \(y= \dfrac{c-ax}{b}\) sẽ tìm ra giá trị hợp lý của y.

Cách 2: Phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số là một phương pháp được sử dụng phổ biến dựa vào các mối tương quan giữa các phương trình để làm triệt tiêu bớt một biến và biến đổi về phương trình bậc nhất một ẩn số.

Bước 1. Biến đổi hệ số từ nghiệm x hoặc nghiệm y về giống nhau ở tại hai phương trình. Sau đó dùng phương pháp cộng nếu ngược dấu hệ số hoặc phép trừ nếu cùng dấu hệ số đối với hai phương trình,

Bước 2. Sau khi triệt tiêu bằng phương pháp cộng đại số ta sẽ suy ra được một phương trình bậc nhất một ẩn, giải để tìm ra giá trị của hệ số đó, và thay thế vào một trong hai phương trình ban đầu của hệ để tìm ra giá trị của ẩn còn lại.

3. Hệ chứa tham số m

Áp dụng phương trình tổng quát cho hệ như sau \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.{\rm{   }}\left( * \right).\)

Cách 1. Để giải hệ phương trình (*), ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách 2. Từ hai phương trình của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới (một ẩn). Theo tính chất số lượng nghiệm của hệ mới xác định được là trùng khớp với hệ cũ,

4. Phương pháp giải

Để giải được hệ mới ta tuân thủ các quy trình sau:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

+ Với các biểu thức ta cần phải thực hiện bước ra điều kiện thích hợp cho hệ số và ẩn cho trước

+ Dùng phương pháp biến đổi đại số cơ bản để tham chiếu biến này qua biến khác.

+ Thay thế biểu thức biến đổi vào hệ phương trình ban đầu để tìm ra giá trị hợp lý cho từng ẩn số.

Bước 2. Tiến hành giải nghiệm

Bước 3. Kết luận

+ Thực nghiệm phép đối chiếu cơ bản lại đối với các nghiệm đã tìm được so với điều kiện đã áp đặt ban đầu.

+ Kết luận bài toán.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

II. Bài tập toán hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Trong năm hai nông trại sản xuất lần lượt là x và y tấn thóc. Biết tổng sản lượng sản xuất được là 720 tấn thóc. Mức năng suất theo thống kê cho nông trại 1 là 15% và nông trại 2 là 12%. Tìm giá trị của x và y?

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 0; y > 0\)

Theo đề bài ta có:

Theo giả thuyết cho tổng sản lượng mà cả hai nông trại thu hoạch được thống kê là 720 tấn, nên ta có:

\(x + y = 720\) (1)

Theo đề năng suất thu hoạch của nông trại một và hai lần lượt đạt giá trị là 15% và 12% nên ta có: \(x + \displaystyle{{15} \over {100}}x = {{115} \over {100}}x\) (tấn) và \(y + \displaystyle{{12} \over {100}}y = {{112} \over {100}}y\) (tấn). 

Tổng sản lượng theo giả thuyết có 819 tấn, nghĩa là: \(\displaystyle{{115} \over {100}}x + {{112} \over {100}}y = 819\), (2) 

Ta xác định được hệ từ các phép toán biến đổi trên là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 720\\\dfrac{{115}}{{100}}x + \dfrac{{112}}{{100}}y = 819\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 115x + 112y = 81900 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 115\left( {720 - y} \right) + 112y = 81900 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 82800 - 115y + 112y = 81900 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 3y = 900 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 420\\ y = 300 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(x = 420 \to y = 300\) (nhận)

Bài 2: Cho hai đội sản xuất có năng suất làm việc là x và y. Biết tổng số công việc mà hai đội đã thực hiện được trong ngày là 12 công việc. Nếu cho hai đội cùng làm chung thì năng suất làm việc sẽ tăng gấp đôi và hoàn thành tổng số công việc trong 3 ngày rưỡi. Yêu cầu tìm giá trị của x và y?

Bài giải:

Theo giả thuyết, áp dụng từ công thức tính năng suất ta quy được khối lượng công việc của từng đội và tổng cộng lần lượt như sau: \(\displaystyle{1 \over x}\), \(\displaystyle{1 \over y}\), \({1 \over {12}}\) công việc. Ta có phương trình:

\(\displaystyle{1 \over x} + \displaystyle{1 \over y} = \displaystyle{1 \over {12}}(1)\)

Thống kê dữ liệu trong những ngày cùng cho hoạt động chung (8 ngày) \(\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)\) công việc. Bởi việc tăng kích ứng vào năng suất nên khả năng làm việc đội số 2 là \(\displaystyle{2 \over y}\) công việc và hoàn thành toàn bộ công việc theo chỉ thị trong khoảng thời gian đo được là 3.5 ngày nên \(3,5.\displaystyle{2 \over y} = \displaystyle{7 \over y}\) công việc. Ta có phương trình:

\(\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)+\displaystyle{7 \over y}=1\Leftrightarrow \displaystyle{8 \over x} + \displaystyle{{15} \over y}=1 (2)\)

Ta xác định được hệ từ các phép toán biến đổi trên là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{8}{x} + \dfrac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\)

Đặt:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} = a\\ \dfrac{1}{y} = b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = \dfrac{1}{{12}}\\ 8a + 15b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - b\\ 8\left( {\dfrac{1}{{12}} - b} \right) + 15b = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - b\\ \dfrac{2}{3} + 7b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{21}}\\ b = \dfrac{1}{{21}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{28}}\\ b = \dfrac{1}{{21}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 28\\ y = 21 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy ta xác định được x = 28 và y = 21.

Với những gì đã giúp các bạn giải quyết về thế nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất và có đa nghiệm trên đây, hy vọng rằng sẽ giúp các bạn đạt được kết quả cao trong học tập đặc biệt là môn Toán học!