Phép nhân phân số

Ví dụ : Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài \(\frac{4}{5}m\) và chiều rộng \(\frac{2}{3}m\).

a) Để tính diện tích của hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân :    \(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\).

b) Ta tính diện tích này dựa vào hình vẽ sau :

Nhìn trên hình vẽ ta thấy :

• Hình vuông có diện tích bằng 1m² và gồm 15 ô, mỗi ô có diện tích bằng \(\frac{1}{{15}}{m^2}\).
• Hình chữ nhật (phần tô màu) chiếm 8 ô. Do đó diện tích hình chữ nhật bằng \(\frac{8}{{15}}{m^2}\).

c) Ta thực hiện phép nhân như sau :

\(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{{4 \times 2}}{{5 \times 3}} = \frac{8}{{15}}\)

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Bài 1: Tính

a) \(\frac{4}{5} \times \frac{6}{7}\)                               b) \(\frac{2}{9} \times \frac{1}{2}\)

c) \(\frac{1}{2} \times \frac{8}{3}\)                               d) \(\frac{1}{8} \times \frac{1}{7}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

a) \(\frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{{4 \times 6}}{{5 \times 7}} = \frac{{24}}{{35}}\)

b) \(\frac{2}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{{2 \times 1}}{{9 \times 2}} = \frac{2}{{18}} = \frac{1}{9}\)

c) \(\frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{{1 \times 8}}{{2 \times 3}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

d) \(\frac{1}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{{1 \times 1}}{{8 \times 7}} = \frac{1}{{56}}\)

Bài 2: Rút gọn rồi tính

a) \(\frac{2}{6} \times \frac{7}{5}\)                      b) \(\frac{{11}}{9} \times \frac{5}{{10}}\)                       c) \(\frac{3}{9} \times \frac{6}{8}\) 

Hướng dẫn giải:

• Rút gọn các phân số thành phân số tối giản (nếu được), sau đó thực hiện phép nhân hai phân số như thông thường.

a) \(\frac{2}{6} \times \frac{7}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{{1 \times 7}}{{3 \times 5}} = \frac{7}{{15}}\)

b) \(\frac{{11}}{9} \times \frac{5}{{10}} = \frac{{11}}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{{11 \times 1}}{{9 \times 2}} = \frac{{11}}{{18}}\)

c) \(\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{{1 \times 3}}{{3 \times 4}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\)

Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài là \(\frac{6}{7}m\) và chiều rộng \(\frac{3}{5}m\). Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Hướng dẫn giải:

• Áp dụng công thức : Diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng.

Bài giải

Diện tích của hình chữ nhật là :

         \(\frac{6}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{{18}}{{35}}\left( {{m^2}} \right)\)

                         Đáp số: \(\frac{{18}}{{35}}\)m².

Bài 1: Tính theo mẫu

Mẫu :   \(\frac{2}{9} \times 5 = \frac{2}{9} \times \frac{5}{1} = \frac{{2 \times 5}}{{9 \times 1}} = \frac{{10}}{9}\)

Ta có thể viết gọn như sau : \(\frac{2}{9} \times 5 = \frac{2}{9} \times \frac{5}{1} = \frac{{2 \times 5}}{{9 \times 1}} = \frac{{10}}{9}\).

a) \(\frac{9}{{11}} \times 8\)                                b) \(\frac{5}{6} \times 7\)

c) \(\frac{4}{5} \times 1\)                                     d) \(\frac{5}{8} \times 0\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân phân số với số tự nhiên ta có thể viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, sau đó thực hiện phép nhân hai phân số như thông thường; hoặc để viết gọn ta có thể lấy tử số nhân với số tự nhiên và giữ nguyên mẫu số.

Cách giải:

a) \(\frac{9}{{11}} \times 8 = \frac{{9 \times 8}}{{11}} = \frac{{72}}{{11}}\)

b) \(\frac{5}{6} \times 7 = \frac{{5 \times 7}}{6} = \frac{{35}}{6}\)

c) \(\frac{4}{5} \times 1 = \frac{{4 \times 1}}{5} = \frac{4}{5}\)

d) \(\frac{5}{8} \times 0 = \frac{{5 \times 0}}{8} = \frac{0}{8} = 0\)

Bài 2: Tính (theo mẫu)

Mẫu :   \(2 \times \frac{3}{7} = \frac{2}{1} \times \frac{3}{7} = \frac{{2 \times 3}}{{1 \times 7}} = \frac{6}{7}\).

Ta có thể viết gọn như sau : \(2 \times \frac{3}{7} = \frac{{2 \times 3}}{7} = \frac{6}{7}\).

a) \(4 \times \frac{6}{7}\)                                 b) \(3 \times \frac{4}{{11}}\)

c) \(1 \times \frac{5}{4}\)                                 d) \(0 \times \frac{2}{5}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân số tự nhiên với phân số ta có thể viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, sau đó thực hiện phép nhân hai phân số như thông thường; hoặc để viết gọn ta có thể lấy số tự nhiên nhân với tử số và giữ nguyên mẫu số.

a) \(4 \times \frac{6}{7} = \frac{{4 \times 6}}{7} = \frac{{24}}{7}\)

b) \(3 \times \frac{4}{{11}} = \frac{{3 \times 4}}{{11}} = \frac{{12}}{{11}}\)

c) \(1 \times \frac{5}{4} = \frac{{1 \times 5}}{4} = \frac{5}{4}\)

d) \(0 \times \frac{2}{5} = \frac{{0 \times 2}}{5} = 0\)

Bài 3: Tính rồi so sánh kết quả : \(\frac{2}{5} \times 3\) và \(\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân phân số với số tự nhiên ta có thể viết gọn bằng cách lấy tử số nhân với số tự nhiên và giữ nguyên mẫu số.
• Muốn cộng các phân số cùng mẫu sô, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số.

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{{2 \times 3}}{5} = \frac{6}{5};\,\,\,\,\,\,\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{{2 + 2 + 2}}{5} = \frac{6}{5}\)

Mà \(\frac{6}{5} = \frac{6}{5}\)

Vậy : \(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\).

Bài 4: Tính rồi rút gọn

a) \(\frac{5}{3} \times \frac{4}{5}\)                    b) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{7}\)                    c) \(\frac{7}{{13}} \times \frac{{13}}{7}\)

Hướng dẫn giải:

• Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

a) \(\frac{5}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{{5 \times 4}}{{3 \times 5}} = \frac{{20}}{{15}} = \frac{{20:5}}{{15:5}} = \frac{4}{3}\)

b) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 7}} = \frac{6}{{21}} = \frac{{6:3}}{{21:3}} = \frac{2}{7}\)

c) \(\frac{7}{{13}} \times \frac{{13}}{7} = \frac{{7 \times 13}}{{13 \times 7}} = \frac{{91}}{{91}} = 1\)

Bài 5: Tính chu vi và diện tích hình vuông có cạnh \(\frac{5}{7}m\).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng các công thức :

• Chu vi hình vuông = cạnh ×4.
• Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh.

Bài giải

Chu vi của hình vuông là :

      \(\frac{5}{7} \times 4 = \frac{{5 \times 4}}{7} = \frac{{20}}{7}\left( m \right)\)

Diện tích của hình vuông là :

       \(\frac{5}{7} \times \frac{5}{7} = \frac{{5 \times 5}}{{7 \times 7}} = \frac{{25}}{{49}}\left( {{m^2}} \right)\)

                           Đáp số : Chu vi: \(\frac{{20}}{7}m\); 

                                                   Diện tích:  \(\frac{{25}}{{49}}m^2\)

Bài 1: a) Viết tiếp vào chỗ chấm : 

• Nhận xét :  \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \,...\) ;                      \(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \,...\)

Vậy : \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \,...\frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\).

Tính chất giao hoán : Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

• Nhận xét : \(\left( {\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \,...\)

                     \(\frac{1}{3} \times \left( {\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}} \right) = \,...\)

Vậy : \(\left( {\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4}...\frac{1}{3} \times \left( {\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}} \right)\)

Tính chất kết hợp : Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.

• Nhận xét : \(\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \,...\) ;

                     \(\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = ...\)

Vậy : \(\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = ...\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\)

Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả lại. 

b) Tính bằng hai cách :

\(\frac{3}{{22}} \times \frac{3}{{11}} \times 22\) ;                    \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) \times \frac{2}{5}\) ;

 \(\frac{{17}}{{21}} \times \left( {\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng các tinh chất giao hoán, kết hợp, nhân một tổng với một số để tính giá trị các biểu thức đã cho.

a)

• \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{{2 \times 4}}{{3 \times 5}} = \frac{8}{{15}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{{4 \times 2}}{{5 \times 3}} = \frac{8}{{15}}\)

Vậy : \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\)

• \(\left( {\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \frac{2}{{15}} \times \frac{3}{4} = \frac{{2 \times 3}}{{15 \times 4}} = \frac{6}{{60}} = \frac{1}{{10}}\)

\(\frac{1}{3} \times \left( {\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{6}{{20}} = \frac{{1 \times 6}}{{3 \times 20}} = \frac{6}{{60}} = \frac{1}{{10}}\)

Vậy : \(\left( {\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \times \left( {\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}} \right)\)

• \(\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{{3 \times 3}}{{5 \times 4}} = \frac{9}{{20}}\)

\(\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{{1 \times 3}}{{5 \times 4}} + \frac{{2 \times 3}}{{5 \times 4}} = \frac{3}{{20}} + \frac{6}{{20}} = \frac{{3 + 6}}{{20}} = \frac{9}{{20}}\)

Vậy : \(\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}} \right) \times \frac{3}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\)

b) 1) \(\frac{3}{{22}} \times \frac{3}{{11}} \times 22\)

Cách 1 : \(\frac{3}{{22}} \times \frac{3}{{11}} \times 22 = \frac{{3 \times 3}}{{22 \times 11}} \times 22 = \frac{9}{{22 \times 11}} \times 22 = \frac{{9 \times 22}}{{22 \times 11}} = \frac{9}{{11}}\)

Cách 2 : \(\frac{3}{{22}} \times \frac{3}{{11}} \times 22 = \frac{3}{{22}} \times 22 \times \frac{3}{{11}} = \frac{{3 \times 22}}{{22}} \times \frac{3}{{11}} = 3 \times \frac{3}{{11}} = \frac{{3 \times 3}}{{11}} = \frac{9}{{11}}\)

2) \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) \times \frac{2}{5}\)

Cách 1 : \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) \times \frac{2}{5} = \left( {\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} \right) \times \frac{2}{5} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{{5 \times 2}}{{6 \times 5}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Cách 2 : 

\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{{1 \times 2}}{{3 \times 5}} + \frac{{1 \times 2}}{{3 \times 5}} = \frac{1}{5} + \frac{2}{{15}}\\
 = \frac{3}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{{3 + 2}}{{15}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)

3)  \(\frac{{17}}{{21}} \times \left( {\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} \right)\)

Cách 1 :

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{{15}} \times \frac{{17}}{{21}} + \frac{{17}}{{21}} \times \frac{2}{5} = \frac{{3 \times 17}}{{5 \times 21}} + \frac{{17 \times 2}}{{21 \times 5}} = \frac{{51}}{{105}} + \frac{{34}}{{105}} = \frac{{51 + 34}}{{105}}\\
 = \frac{{85}}{{105}} = \frac{{85:5}}{{105:5}} = \frac{{17}}{{21}}
\end{array}\)

Cách 2 : \(\frac{{17}}{{21}} \times \left( {\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} \right) = \frac{{17}}{{21}} \times \frac{5}{5} = \frac{{17}}{{21}} \times 1 = \frac{{17}}{{21}}\)

Bài 2: Tính chu vi hình chữ nhật có chiều dài \(\frac{4}{5}\)m và chiều rộng \(\frac{2}{3}\)m.

Hướng dẫn giải:

• Áp dụng công thức: Chu vi hình chữ nhật = (chiều dài + chiều rộng) ×2.

Bài giải

Chu vi hình chữ nhật là : 

           \(\left( {\frac{4}{5} + \frac{2}{3}} \right) \times 2 = \frac{{44}}{{15}}\left( m \right)\)

                             Đáp số: \(\frac{{44}}{{15}}\)m. 

Bài 3: May một chiếc túi hết \(\frac{2}{3}\)m vải. Hỏi may 3 chiếc túi như thế hết mấy mét vải? 

Hướng dẫn giải:

• Số vải may 3 chiếc túi = số vải may 1 chiếc túi × 2.

Bài giải

Số vải để may 3 cái túi là :

            \(\frac{2}{3} \times 3 = 2\) (m) 

     Đáp số: 2m.

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.