Bài 38 trang 82 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \(AC, CD, DB\) sao cho

\(sđ\overparen{AC}=sđ\overparen{CD}=sđ\overparen{DB}=60^0\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(T\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\);

b) \(CD\) là phân giác của \(\widehat{BCT}.\)

Hướng dẫn giải

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat{AEB}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung \(CD\) và \(AB\) nên:

\(\widehat{AEB}=\frac{sđ\overparen{AB}- sđ\overparen{CD}}{2}={{({{180}^0} + {{60}^0}) - ({{60}^0} + {{60}^0})} \over 2} = {60^0}.\)

và \(\widehat{BTC}\)  cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung \(BC\) lớn và \(BC\) nhỏ (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:

\(\widehat{BTC}=\frac{\widehat {BAC}-\widehat {BDC}}{2}={{({{180}^0} + {{60}^0}) - ({{60}^0} + {{60}^0})} \over 2} = {60^0}.\)

 Vậy \(\widehat {AEB} =\widehat {BTC}=60^0.\) 

b)  \(\widehat {DCT} \) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CD\) nên:

     \(\widehat {DCT}=\frac{sđ\overparen{CD}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0.\)

\(\widehat {DCB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD\) nên: \(\widehat {DCB}=\frac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}.\)

Vậy  \(\widehat {DCT}=\widehat {DCB}=30^0\)  hay  \(CD\) là phân giác của \(\widehat {BCT}. \)