Bài 4 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(6cm\). Một điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM  = 2cm\)

a) Tính độ dài của đoạn thẳng \(AM\) và tính cosin của góc \(BAM\)

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABM.\)

c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ \(C\) của tam giác \(ACM.\)

d) Tính diện tích tam giác \(ABM.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\( A{M^2} = B{A^2} + B{M^2}\)\( - 2BA.BM.\cos\widehat {ABM}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr
& \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 (cm) \cr} \)

Ta cũng có:

\(\eqalign{
& \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB.AM}} \cr
& \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)

b) Trong tam giác \(ABM\), theo định lí Sin ta có:

\(\eqalign{
& {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr
& R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}(cm) \cr} \)

c) Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

\(\eqalign{
& C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr
& \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr
& \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}\)

d) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\(S = {1 \over 2}BA.BM\sin \widehat {ABM} \)\(= {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 (c{m^2})\)