Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng \(Δ :4x + 3y – 2 = 0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(d_1: x + y + 4 = 0\) và \(d_2: 7x – y + 4 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc tù thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.

Tâm \(I\) của đường tròn cần tìm là giao điểm của \(Δ\) với các đường phân giác của các góc đo do hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành.

Phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \(d_1\) và \(d_2\) tạo thành là:

\({{x + y + 4} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \pm {{7x - y + 4} \over {\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\)

Rút gọn, ta được phương trình hai phân giác:

\(p_1: x – 3y – 8 = 0\)

\(p_2: 3x + y + 6 = 0\)

Tâm \(I \) của đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ:

\((I)\left\{ \matrix{
x - 3y - 8 = 0 \hfill \cr
4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.;\)

\((II)\left\{ \matrix{
3x + y + 6 = 0 \hfill \cr
4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Hệ (I) cho ta nghiệm là \(I_1(2; -2)\)

Hệ (II) cho ta nghiệm là \(I_2(-4; 6)\)

Bán kính \(R\) là khoảng cách từ \(I\) đến một cạnh, tức là đến đường thẳng \(d_1\) (hoặc \(d_2\)) nên:

_ Với tâm \(I_1 (2; -2)\) \( \Rightarrow {R_1} = {{|2 - 2 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

Và được đường tròn \((C_1): (x – 2)^2+ (y + 2)^2= 8\)

_ Với tâm \(I_2(-4; 6)\) \( \Rightarrow {R_2} = {{| - 4 + 6 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \)

Và được đường tròn \((C_2): (x + 4)^2+ (y – 6)^2= 18\)