Bài 7 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với \(H\) là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \(AB, BH\) và \(AH\) lần lượt là: \(4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0\) và \(2x + 2y – 9 = 0\)

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Hướng dẫn giải

Tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A({5 \over 2},2)\)

Đường thẳng \(BH : 5x – 4y – 15 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (4,5)\)

Cạnh \(AC\) vuông góc với \(BH\) nên nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, \(AC\) đi qua \(A({5 \over 2},2)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow u  = (4,5)\) nên có phương trình là:

 \(4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \)\(\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\)

Tương tự, tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow B(3,0)\)

\(AH: 2x + 2y – 9 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow v  = ( - 2,2) = 2( - 1,1)\)

\(BC\) vuông góc với \(AH\) nên nhận vecto \(\overrightarrow {v'}  = ( - 1,1)\) làm vecto pháp tuyến, phương trình \(BC\) là:

\( - 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)

Tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow H({{11} \over 3},{5 \over 6})\)

Đường cao \(CH\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(AB\)

Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của \(CH\):

\(CH: 3x – 12y – 1= 0.\)