Bài 3 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\), \(E\) là giao điểm của hai cạnh của hình thang \(ABCD\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ECD\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(S, E, M, G\) cùng thuộc một mặt phẳng \((α)\) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) theo cùng một giao tuyến \(d\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

c) Lấy một điểm \(K\) trên đoạn \(SE\) và gọi \(C'= SC ∩KB, D'=SD ∩ KA\). Chứng minh rằng hai giao điểm của \(AC'\) và \(BD'\) thuộc đường thẳng \(d\) nói trên.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh mặt phẳng \((\alpha)\) chính là mặt phẳng \((SEM)\).

b) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

c) Gọi \(I = AC' \cap BD'\), chứng minh \(AC' \subset \left( {SAC} \right);\,\,BD' \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow I\) là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(DB\); \(N\) là giao của \(EM\) và \(DC\).

\(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(N\) là trung điểm của \(DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang),

Dễ dàng chứng minh được \(E, M, N\) thẳng hàng.

Vậy ba điểm \(E, G, M\) thẳng hàng . Mặt phẳng \((\alpha)\) chính là mặt phẳng \((SEM)\)

Ta dễ thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SEM} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\\\left( {SEM} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right.\)

b) \(E = AD \cap BC \Rightarrow E \in AD \Rightarrow E \in (SAD)\)

                                       \(E ∈ BC ⇒ E ∈ (SBC)\)

Vậy \(E\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)

        \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và  \((SBC)\)

\( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE\)

c) \(C' = SC \cap KB \Rightarrow C' \in SC \Rightarrow C' \in \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow AC' \subset \left( {SAC} \right)\)

Tương tự ta có: \(BD' ∈ (SDB)\)

Hai đường thẳng \(AC’\) và \(BD’\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABK)\), giả sử \(I = AC' \cap BD'\)

\(I ∈ AC’ ⇒ M ∈ (SAC); I ∈ BD’ ⇒ M ∈ (SDB)\)

\(⇒ I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và  \((SDB)\) hay \(I ∈ d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).