Bài 5 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) \(a = b \cos C + c \cos B\)

b) \(\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\)

c) \(h_a= 2R.\sin B\sin C.\)

Hướng dẫn giải

a) Trong tam giác \(ABC\), theo định lí cosin ta có:

\(\left\{ \matrix{
\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr
\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& b\cos C + c\cos B \cr&= b({{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}) + c({{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}) \cr
& = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} \cr} \)

Vậy \(a = b \cos C + c \cos B\)

b) Trong tam giác \(ABC\) , theo định lí sin:

\(\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr
& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin B = {b \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin C = {c \over {2R}} \cr} \)

 Ta có: 

\(\eqalign{
& \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr
& = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}\cr&\;\;\;\; + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr
& = {a \over {2R}} = \sin A \cr} \)

c) Ta lại có: \(a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\)

mà \(S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}(2)\)

Thế \(b = 2RsinB, c = 2Rsin C\) vào (2) ta được:

\({h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}}\)\( \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\)