Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Không giải phương trình x² - 2x - 15 = 0, hãy tính:

a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.

b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.

c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.

Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\)

Hướng dẫn giải

Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. 

Theo định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr
{x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\)

a) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {2^2} - 2( - 15) = 34\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \)

c) Ta có:

\(x_1^4 + x_2^4 = {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2x_1^2x_2^2\)

\(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\)