Bài 13 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì:\(x + z = 2y\).

Lời giải chi tiết

Ta phải chứng minh: \({1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}\) (1)

Biến đổi:

\(\eqalign{
& (1) \Leftrightarrow {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)

Vậy (1) đúng vì \(a^2,b^2,c^2\) lập thành cấp số cộng.

Vậy \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.