Bài 8 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của các cấp số cộng (u_n) biết:

a) \(\left\{ \matrix{5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức 

\[\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \frac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\]

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
5{u_1} + 10{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4d} \right) = 0\\
\frac{{\left( {2{u_1} + 3d} \right).4}}{2} = 14
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15{u_1} + 40d = 0\\
2{u_1} + 3d = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8\\
d = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr
u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

\((1) ⇔ 2u_1+ 20d = 60 ⇔ u_1= 30 – 10d\) thế vào \((2)\)

\((2) ⇔[(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\)

\(⇔ (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\)

\(⇔900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\)

\(⇔ 50d^2– 360d + 630 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr
d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = - 12 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left\{ \matrix{{u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{{u_1} = - 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\)