Bài 9 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội của các cấp số nhân \((u_n)\), biết:

a) \(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\)

b)\(\left\{ \matrix{{u_4} - {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} - {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.\)

c) \(\left\{ \matrix{{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}.{q^5} = 192\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr {u_1}.{q^6} = 384\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1) ta có: \( u_1.2^5= 192 ⇔ u_1= 6\)

Vậy \(u_1= 6\) và \(q = 2\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} - {u_2} = 72\\
{u_5} - {u_3} = 144
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}{q^3} - {u_1}q = 72\\
{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 144
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 72\\
{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144
\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{144}}{{72}} = 2\\
\Rightarrow {u_1}.2.\left( {{2^2} - 1} \right) = 72 \Leftrightarrow {u_1}.6 = 72 \Leftrightarrow {u_1} = 12
\end{array}\)

Vậy \(u_1= 12\) và \(q = 2\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr
{u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q + {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr
{u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}q(1 + {q^3} - {q^2}) = 10 \,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{u_1}q^2(1 + {q^3} - {q^2}) = 20\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1)

(1) \(⇔ 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u_1= 1\)

Vậy \(u_1= 1\) và \(q = 2\).