Bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

a) \(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

b) \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

                  \(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)

Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)

Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).

b) Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)

Giả sử:  \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).

Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)

Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)