Bài 20. Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, …, A_n, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n = 1, 2, … . Kí hiệu u₁ là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n – 1}, nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải

Với \(n ≥ 2\) ta có :

\(\eqalign{
& {u_n} = {1 \over 2}\left( {\pi {{OA_n^2} \over 4} - \pi {{OA_{n - 1}^2} \over 4}} \right) \cr
& = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr
& = {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi = {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)

Mặt khác

\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)

Do đó (u_n) là cấp số cộng với công sai \(d = {\pi \over 4}.\)