Trang chủ Lớp 11 Toán Lớp 11 SGK Cũ Bài 3. Cấp số cộng Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 26. Hãy chứng minh định lí 3.

Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k  \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác :

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) + ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)

Mà  \({u_2} + {u_{n - 1}} = {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

Do đó  \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)

Copyright © 2021 HOCTAP247