Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi \(16 cm\), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.
+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right).\)
+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy.\)
Biểu diễn chiều dài theo chiều rộng bởi hàm số \(y=f\left( x \right)\). Sau đó tìm chiều rộng để diện tích của hình chữ nhật đó lớn nhất bằng cách xét hàm số \(S\left( x \right)\). Từ đó ta tìm được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x;\ y\ \left( cm \right),\left( 0< x; y < 8 \right).\)
Theo đề bài ta có chu vi của hình chữ nhật là \(16cm.\)
Khi đó ta có: \(2\left( x+y \right)=16\Leftrightarrow x+y=8\Leftrightarrow y=8-x.\)
\(\Rightarrow \) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy=x\left( 8-x \right)=8x-{{x}^{2}}.\)
Xét hàm số: \(S\left( x \right)=8x-{{x}^{2}}\) trên \(\left( 0;\ \ 8 \right)\) ta có:
\(S'\left( x \right)=8-2x\Rightarrow S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4.\)
Ta có: \(S\left( 0 \right)=0;\ \ S\left( 4 \right)=16;\ \ S\left( 8 \right)=0.\)
\(\Rightarrow \underset{\left( 0;\ 8 \right)}{\mathop{Max}}\,S\left( x \right)=16\ \ khi\ \ x=4.\)
\(\Rightarrow y=8-x=4\ \ \left( tm \right).\)
Vậy hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất là hình vuông có cạnh là \(4cm.\)
Copyright © 2021 HOCTAP247