Bài 5 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y =|x|\) ;                       b) \(y =x+{4\over x}\) \(( x > 0)\).

Hướng dẫn giải

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết

a) \(y=\left| x \right|.\)

Ta có: 

\(y = |x| = \left\{ \begin{gathered}
x\text{ nếu }x \geqslant 0 \hfill \\
- x\text{ nếu }x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt GTNN tại \(x=0;{\min }\,y=0.\)

b) \(y=x+\dfrac{4}{x}\ \ \ \left( x>0 \right).\)

Ta có: \(y'=1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-2\notin \left( 0;+\infty  \right) \\ & x=2\in \left( 0;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{Min}}\,y=4\ \ khi\ \ x=2.\)