Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\) 

d) \(f\left( x \right) = x - \sin 2x\) trên đoan \(\left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]\).

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D = \left[ { - 3;1} \right]\); \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0\) với mọi \(x < {3 \over 2}\,\)

Hàm số \(f\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right];f'\left( x \right) = 1 - {x \over {4 - {x^2}}}\) với \(x \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {4 - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < 2 \hfill \cr
4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)

Ta có \(f\left( { - 2} \right) =  - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  = 2\sqrt 2 ;\,\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  =  - 2\)

c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 = {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\)

Đặt \(t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 3\) số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

\(g'\left( t \right) = 2t - 1;g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 3;g\left( {{1 \over 2}} \right) = {{11} \over {14}};g\left( 1 \right) = 3\)

Do đó:  \(\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = 3\)

Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{11} \over {14}};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\)

d) TXĐ: \(D = \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x;\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3} \Leftrightarrow 2x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\)

Với \( - {\pi  \over 2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0\) tại các điểm \( - {\pi  \over 6},{\pi  \over 6}\) và \({{5\pi } \over 6}\)

Ta có \(f\left( { - {\pi  \over 6}} \right) =  - {\pi  \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {\pi  \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};f\left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\);
.\(f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - {\pi  \over 2};f\left( \pi  \right) = \pi \)
So sánh năm giá trị trên ta được:
\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\) và \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  =  - {\pi  \over 2}\)

Copyright © 2021 HOCTAP247