Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 21. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)                    b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;\)              d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \).

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1\,\,\,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) =  - {1 \over 2}\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).

b) TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).

c) TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).

d) \(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le  - 1\)hoặc \(x \ge 1\).

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm

\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x <  - 1\)

\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Copyright © 2021 HOCTAP247