Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) =  - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\).

b) Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 =  - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left( t \right) =  - 2t - {1 \over 2};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\).