Bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) \(y = {4 \over {1 + {x^2}}}\);                   b) \(y = 4{x^3} - 3{x^4}\)

Hướng dẫn giải

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết

a) \(y=\frac{4}{1+{{x}^{2}}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=\frac{-2x.4}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{-8x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.\)

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{1+{{x}^{2}}}=0.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=0;\ \ \underset{R}{\mathop{\max }}\,y=4.\)

b) \(y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)=-\infty .\)

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=1;\ \ \underset{R}{\mathop{\max }}\,y=1.\)