Bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(48 m^2\) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

+) Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.

+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right).\)

+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy.\)

Biểu diễn chiều dài theo chiều rộng bởi hàm số \(y=f\left( x \right)\). Sau đó tìm chiều rộng để chu vi của hình chữ nhật đó nhỏ nhất bằng cách xét hàm số \(P\left( x \right)\). Từ đó ta tìm được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.  

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x;\ y\ \left( m \right),\ \ \left( x;\ y > 0 \right).\)

Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là \(48\ {{m}^{2}}\Rightarrow xy=48\Leftrightarrow y=\frac{48}{x}.\)

\(\Rightarrow \) Chu vi hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right).\)

Xét hàm số \(P\left( x \right)=2\left( x+\frac{48}{x} \right)\) trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
P'\left( x \right) = 2\left( {1 - \frac{{48}}{{{x^2}}}} \right) \Rightarrow P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 48 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 48 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\sqrt 3 \; \in \left( {0; + \infty } \right)\\
x = - 4\sqrt 3 \;\; \notin \left( {0; + \infty } \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta có: \(P\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}.\)

\(\begin{align} & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,P\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ 2\left( x+\frac{48}{x} \right)=+\infty . \\  & \Rightarrow Min\ P\left( x \right)=16\sqrt{3}\ \ khi\ \ x=4\sqrt{3}. \\  & \Rightarrow y=\frac{48}{4\sqrt{3}}=4\sqrt{3}m. \\ \end{align}\)

Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh \(4\sqrt{3}m.\)