Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. M là một điểm di động trên đường tròn. Nối MA, MB, trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I.

Hướng dẫn giải

a) Phần thuận : Ta có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BMI} = 90^\circ \)

Trong tam giác vuông IMB : \(\tan \widehat {AIB} =\dfrac {{BM}}{ {IM}} =\dfrac {1 }{ 2}\)

\( \Rightarrow \widehat {AIB} = \alpha \) không đổi \(\left( {\alpha \approx 24^\circ 34'} \right)\), AB cố định.

Vậy I nằm trên cung chứa góc \(α\), vẽ trên đoạn AB.

Giới hạn : I nằm trên hai cung \({I_0}B\) và \({I_1}B\) đối xứng nhau qua AB với \({I_0}{I_1} \bot AB\) tại A.

b) Phần đảo : Lấy một điểm I’ bất kì trên cung \({I_0}B\) ( hoặc cung \({I_2}B\) ) nối I’A cắt đường tròn (O) tại M’. Ta có \(\widehat {AM'B} = 90^\circ \). Do đó \(∆BM’I \) vuông. Khi đó :

\(\tan \widehat {BI'M} = \tan \alpha = \dfrac{{M'B}}{ {M'T'}} =\dfrac {1}{ 2}\)

\(\Rightarrow M'I' = 2M'B.\)

c) Kết luận : Tập hợp các điểm I là cung \({I_0}B\) và \({I_1}B\) đối xứng qua AB là phần của cung chứa góc α \(\left( {\tan \alpha = \dfrac{1 }{ 2}} \right)\) vẽ trên AB.