Bài 37 trang 208 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 37. Tìm phần thực, phần ảo của

\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3}\,;\)                               

\(b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\)                 

\(c)\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)

Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Hướng dẫn giải

\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3} = {2^3} - 3.2.3i\left( {2 - 3i} \right) - {\left( {3i} \right)^3} = 8 - 18i\left( {2 - 3i} \right) + 27i =  - 46 - 9i\)

Vậy phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).

\(\eqalign{  & b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} = {{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over 2} = {{1 + 5i} \over 2} = {1 \over 2} + {5 \over 2}i  \cr  & {{1 - i} \over {3 - 2i}} = {{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)} \over {13}} = {{5 - i} \over {13}} = {5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \cr} \)

Do đó \(\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\, ={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} - {1 \over {13}}i = {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\)

Vậy phần thực là \({{23} \over {26}}\), phần ảo là \({{63} \over {26}}\)

\(c)\,\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5 = {x^2} - {y^2} - 2x + 5 + 2y\left( {x - 1} \right)i\)

Vậy phần thực là \({x^2} - {y^2} - 2x + 5\), phần ảo là \(2y\left( {x - 1} \right)\).

Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \(2y\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(x = 1\).