Bài 42 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 42

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}\)với \(a,b \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi  \over 4}\).

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi  \over 4}\).

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn hình học \(2 + i, 3 + i\) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức

ta có: \(\tan \left( {Ox,\,OM} \right) = {1 \over 2} = \tan a\)

          \(\tan \left( {Ox,\,ON} \right) = {1 \over 3} = \tan b\)

Xét \(z.z' = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) \)

               \(= 5\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

Số \(zz'\) có acgumen là \({{\pi  \over 4}}\), suy ra \(a + b = {\pi  \over 4}\)

b)

\({z_1} = 2 + i\) có một acgumen là a với \(\tan a = {1 \over 2}\)

\({z_2} = 5 + i\) có một acgumen là b với \(\tan b = {1 \over 5}\)

\({z_3} = 8 + i\) có một acgumen là c với \(\tan c = {1 \over 8}\)

Xét \(z = {z_1}{z_2}{z_3} = \left( {2 + i} \right)\left( {5 + i} \right)\left( {8 + i} \right) = 65\left( {1 + i} \right)\)

     \(\,\,\, = 65\sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = 65\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

\(z\) có acgumen là \({\pi  \over 4}\), suy ra \(a + b + c = {\pi  \over 4}\)

 

Copyright © 2021 HOCTAP247