Giải bài 30 trang 116 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

Đề bài

    Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

    a) ∠COD = 90o

   b) CD = AC + BD

   c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Hướng dẫn giải

   Giải: 

    a) Vì \(Ax\perp AB , By \perp AB \) nên Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: 

 \( \widehat{O_1}=\widehat{O_2}; \widehat{O_3}= \widehat{O_4}\)

 Ta có: \( \widehat{COD}= \widehat{O_2} + \widehat{O_3}= \frac{1}{2}\widehat{AOB}= 90^0\)

   b) Tiếp tuyến qua M cắt hai tiếp tuyến Ax, By tại C, D. Ta có:  CM = CA; DM= DB 

 Ta có CD =MC + MD =AC+ BD.

  c) Áp dụng hệ thức \(h^2= b'.c' \) vào tam giác vuông COD, ta được: 

 \(OM^2= MC. MD \Rightarrow AC. BD= OM^2= R^2\) không đổi.