Bài 41 trang 73 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

Giả sử ∆ABC đều có trọng tâm G. Các điểm E, N, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

\( \Rightarrow\) GA = \(\frac{2}{3}\)AN;  GB = \(\frac{2}{3}\)BM;  GC = \(\frac{2}{3}\)EC

Vì ∆ABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau.

\( \Rightarrow\) GA = GB = GC

Xét ∆AMG và ∆CMG tâ có:

GA = BC (cmt)

AM = MC (vì M là trung điểm của AC)

Cạnh MG chung

Vậy ∆AMG = ∆CMG (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)

Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (2 góc kề bù)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\) 

\( \Rightarrow\) GM ⊥ AC tức là GM khoảng cách từ G đến AC.

Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, BC.

Mà GM =\(\frac{1}{3}\)BM; GN = \(\frac{1}{3}\)AN; EG = \(\frac{1}{3}\)EC

Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE.

Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.