Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

a) So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25}  - \sqrt {16}\);

b) Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \).

Hướng dẫn giải

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+) \( \sqrt{ a^2} = a\),  với \( a \ge 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

        +) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)  
        +) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} = \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}=5 - 4 = 1 \).

Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).

Vậy \(\sqrt {25 - 16}  > \sqrt {25}  - \sqrt {16} \)

b Theo bài \(26\), ta đã chứng minh được:  Với \(a>0\)  và  \(b>0\) thì:

                              \( \sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Theo giải thiết, ta có 

                              +) \(b>0 \)

                              +) \(a>b \Rightarrow a-b >0\)

Áp dụng bài \(26\) cho hai số \(a-b\) và \(b \), ta được:

                        \(\sqrt{(a-b) +b}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)

                        \(\Leftrightarrow \sqrt{a-b+b} < \sqrt{a-b} +\sqrt{b}\)

                        \(\Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt{a-b}+\sqrt b\)

                        \(\Leftrightarrow \sqrt a - \sqrt b < \sqrt{a-b}\) (đpcm).