Bài 34 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \( ab^{2}.\sqrt{\dfrac{3}{a^{2}b^{4}}}\) với \(a < 0,\ b ≠ 0\);

b) \( \sqrt{\dfrac{27(a - 3)^{2}}{48}}\) với \(a > 3\);

c) \( \sqrt{\dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}\) với \(a ≥ -1,5\) và \(b < 0.\)

d) \((a - b).\sqrt{\dfrac{ab}{(a - b)^{2}}}\) với \(a < b < 0\).

Hướng dẫn giải

+ \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). 

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}.\)

+ \(\sqrt{a^2}=|a|\).

+ \(|a|=a\)   nếu \(a \ge 0\).

   \(|a|=-a\)  nếu \( a<0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 

\(ab^{2}.\sqrt{\dfrac{3}{a^{2}b^{4}}}=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2b^4}}\) \(=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}\)

                      \(=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{(b^2)^2}}\) \(=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{|a|.|b^2|}\)

                      \(=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{-ab^2}=-\sqrt{3}\).

(Vì \(a < 0 \) nên \(|a|=-a\) và \(b \ne 0\) nên \(b^2 >0 \Rightarrow |b^2|=b^2) \).

b) Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{27(a - 3)^{2}}{48}}=\sqrt{\dfrac{27}{48}.(a-3)^2}\) \(=\sqrt{\dfrac{27}{48}}.\sqrt{(a-3)^2}\)

\(=\sqrt{\dfrac{9.3}{16.3}}.\sqrt{(a-3)^2}\) \(=\sqrt{\dfrac{9}{16}}.\sqrt{(a-3)^2}\)

\(=\sqrt{\dfrac{3^2}{4^2}}.\sqrt{(a-3)^2}\) \(=\dfrac{\sqrt {3^2}}{\sqrt {4^2}}.\sqrt{(a-3)^2}\)

\(=\dfrac{3}{4}|a-3|=\dfrac{3}{4}(a-3)\).

( Vì \(a > 3\) nên \(a-3>0 \Rightarrow |a-3|=a-3) \)

c) Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3^2+2.3.2a+2^2.a^2}{b^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{3^2+2.3.2a+(2a)^2}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{(3+2a)^2}{b^2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{(3+2a)^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{|3+2a|}{|b|}\)

Vì \(a \geq -1,5 \Rightarrow a+1,5>0\)

                      \(\Leftrightarrow 2(a+1,5)>0\) 

                      \( \Leftrightarrow  2a+3>0\)

                      \( \Leftrightarrow  3+2a>0\)

                      \(\Rightarrow |3+2a|=3+2a\)

Vì  \(b<0\Rightarrow |b|=-b\)

Do đó: \(\dfrac{|3+2a|}{|b|}=\dfrac{3+2a}{-b} =-\dfrac{3+2a}{b}\).

Vậy \(\sqrt{\dfrac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}=-\dfrac{3+2a}{b}\).

d) Ta có:

\((a - b).\sqrt{\dfrac{ab}{(a - b)^{2}}}=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a-b)^2}}\)

                            \(=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{|a-b|}\)

                            \(=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}=-\sqrt{ab}\).

(Vì \(a < b < 0\) nên \(a-b<0\Rightarrow |a-b|=-(a-b))\).